連立方程式 $\begin{cases} \frac{7}{4}x - 2y = k+1 \\ -2x + \frac{1}{4}y = 10k+2 \end{cases}$ の解 $x$ と $y$ の値が等しいとき、$k$ と $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

\frac{7}{4}x - 2y = k+1 \\

-2x + \frac{1}{4}y = 10k+2

\end{cases}$

の解 $x$ と $y$ の値が等しいとき、$k$ と $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解きやすい形に変形します。

最初の式を4倍すると、

$7x - 8y = 4k + 4$

2番目の式を4倍すると、

$-8x + y = 40k + 8$

したがって、連立方程式は

$\begin{cases}

7x - 8y = 4k + 4 \\

-8x + y = 40k + 8

\end{cases}$

問題文より、$x=y$ なので、これを代入すると、

$\begin{cases}

7x - 8x = 4k + 4 \\

-8x + x = 40k + 8

\end{cases}$

整理すると、

$\begin{cases}

-x = 4k + 4 \\

-7x = 40k + 8

\end{cases}$

1つ目の式から、

$x = -4k - 4$

これを2つ目の式に代入すると、

$-7(-4k - 4) = 40k + 8$

$28k + 28 = 40k + 8$

$12k = 20$

$k = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

したがって、$k = \frac{5}{3}$

$x = -4k - 4 = -4(\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{20}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{32}{3}$

したがって、$x = -\frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{5}{3}$

$x = -\frac{32}{3}$