与えられた条件$F'(x) = 6x - 1$と$F(1) = 7$を満たす関数$F(x)$を求める問題です。

解析学積分微分不定積分積分定数関数
2025/4/5

1. 問題の内容

与えられた条件F(x)=6x1F'(x) = 6x - 1F(1)=7F(1) = 7を満たす関数F(x)F(x)を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F(x)F'(x)を積分してF(x)F(x)を求めます。
F(x)=F(x)dx=(6x1)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (6x - 1) dx
F(x)=6xdx1dx=3x2x+CF(x) = \int 6x dx - \int 1 dx = 3x^2 - x + C
ここで、CCは積分定数です。次に、F(1)=7F(1) = 7の条件を使って、CCの値を求めます。
F(1)=3(1)2(1)+C=31+C=2+CF(1) = 3(1)^2 - (1) + C = 3 - 1 + C = 2 + C
F(1)=7F(1) = 7なので、2+C=72 + C = 7
したがって、C=72=5C = 7 - 2 = 5
よって、F(x)=3x2x+5F(x) = 3x^2 - x + 5

3. 最終的な答え

F(x)=3x2x+5F(x) = 3x^2 - x + 5

「解析学」の関連問題

関数 $y = \cos 2x + 2\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

三角関数最大・最小微分積分cos変数変換
2025/7/25

問題は3つあります。 (1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ で交わるとき、これらの...

積分面積放物線直線二次関数
2025/7/25

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算する問題です。途中の積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の計算と、最終的な積分結果を求める必要が...

積分置換積分不定積分ルート
2025/7/25

$\cos \theta + \sin \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ である。$\sin 2\theta$ と $\si...

三角関数加法定理倍角の公式
2025/7/25

不定積分 $I = \int 2^{-3x} dx$ を計算する問題です。公式 $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$ を利用します。

積分不定積分指数関数置換積分
2025/7/25

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ ($\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$) について考える。$t = \cos\th...

三角関数最大最小二次関数変数変換
2025/7/25

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ ($\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$)について、以下の問いに答える。 * ...

三角関数二次関数最大値最小値関数のグラフ
2025/7/25

与えられた関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x + \sqrt{2 - x^2}$ (2) $y = x^3 + \frac{8}{x^3}$ (ただし $1 \le x \le 2...

最大値最小値微分増減定義域
2025/7/25

次の2つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx$ (2) $\int_{-1}^{2} |x(x-1)| dx$

定積分絶対値積分
2025/7/25

関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ について、$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \pi$ の範囲で考える。 $t = \c...

三角関数関数の最大最小二次関数
2025/7/25