底から $x$ cm の高さにある平面で切ったときの断面が一辺 $x$ cm の正三角形となる深さ3cmの容器の容積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

底から $x$ cm の高さにある平面で切ったときの断面が一辺 $x$ cm の正三角形となる深さ3cmの容器の容積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

容器の断面積は高さ $x$ に比例して一辺が $x$ である正三角形になる。

正三角形の面積は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ で表される。

高さ $x$ の時の正三角形の一辺が $x$ であることから、$x$ と高さの関係は比例関係にあることがわかる。

深さが3cmのとき、正三角形の一辺は3cmなので、高さ $h$ の時の正三角形の一辺の長さ $x$ は、$x = h$ となる。

したがって、断面積 $S$ は $S = \frac{\sqrt{3}}{4} h^2$ となる。

容器の容積 $V$ は、断面積 $S$ を高さ方向に積分することで求まる。

$V = \int_0^3 S dh = \int_0^3 \frac{\sqrt{3}}{4} h^2 dh = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_0^3 h^2 dh$

$\int_0^3 h^2 dh = \left[ \frac{1}{3} h^3 \right]_0^3 = \frac{1}{3} (3^3 - 0^3) = \frac{1}{3} \times 27 = 9$

$V = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^3$