定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $6x^2 - 6x + 1$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ です。

$\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + \int 1 dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

$= 2x^3 - 3x^2 + x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。定積分を計算する際には、$C$ は打ち消されるため、省略できます。

次に、求めた不定積分に積分区間の上限（4）と下限（0）を代入し、その差を計算します。

$\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_0^4$

$= (2(4)^3 - 3(4)^2 + 4) - (2(0)^3 - 3(0)^2 + 0)$

$= (2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 + 4) - (0)$

$= (128 - 48 + 4)$

$= 84$

3. 最終的な答え

84