与えられた4つの2次不等式を解きます。 (1) $6x^2 - x - 2 \le 0$ (2) $2x^2 - 4x - 1 > 0$ (3) $2x(x+1) + 1 < 0$ (4) $\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 > 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解きます。

(1) $6x^2 - x - 2 \le 0$

(2) $2x^2 - 4x - 1 > 0$

(3) $2x(x+1) + 1 < 0$

(4) $\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - x - 2 \le 0$ を解きます。

まず、2次方程式 $6x^2 - x - 2 = 0$ を解きます。

因数分解すると、 $(2x+1)(3x-2) = 0$ となるので、$x = -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ です。

不等式は $6x^2 - x - 2 \le 0$ なので、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{2}{3}$ となります。

(2) $2x^2 - 4x - 1 > 0$ を解きます。

まず、2次方程式 $2x^2 - 4x - 1 = 0$ を解きます。

解の公式を使うと、$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ となります。

したがって、$x = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}, \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ です。

不等式は $2x^2 - 4x - 1 > 0$ なので、$x < \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$ または $x > \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ となります。

(3) $2x(x+1) + 1 < 0$ を解きます。

式を展開して整理すると、$2x^2 + 2x + 1 < 0$ となります。

判別式を計算すると、$D = 2^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4 < 0$ となります。

したがって、この2次不等式は実数解を持ちません。

$2x^2 + 2x + 1$ は常に正の値を取るので、$2x^2 + 2x + 1 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

(4) $\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 > 0$ を解きます。

両辺を2倍すると、$x^2 + 4x + 4 > 0$ となります。

これは $(x+2)^2 > 0$ と書き換えられます。

したがって、$x \neq -2$ のすべての実数で不等式は成立します。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{2}{3}$

(2) $x < \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$ または $x > \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

(3) 解なし

(4) $x \neq -2$