複素数平面において、点 $P(1-\sqrt{3}i)$ を中心とする円に内接する正三角形があり、その頂点の一つが $A(2)$ であるとき、残りの2つの頂点を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $P(1-\sqrt{3}i)$ を中心とする円に内接する正三角形があり、その頂点の一つが $A(2)$ であるとき、残りの2つの頂点を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Aを中心とする円の半径を計算します。半径は $r = |2 - (1-\sqrt{3}i)| = |1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ となります。

正三角形の頂点は、中心の周りに $2\pi/3$ ラジアンずつ回転しています。したがって、残りの2つの頂点は、点Aを中心として $2\pi/3$ と $4\pi/3$ 回転した点になります。

複素数平面上での回転は、複素数を掛け算することで実現できます。回転の中心を原点に移すために、$A-P = 2 - (1 - \sqrt{3}i) = 1 + \sqrt{3}i$ を考えます。

$e^{i(2\pi/3)} = \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$e^{i(4\pi/3)} = \cos(4\pi/3) + i\sin(4\pi/3) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$A - P = 1 + \sqrt{3}i$ を $2\pi/3$ 回転させた点は、 $(1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{2}i^2 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2$ です。

したがって、この頂点は $P + (-2) = 1 - \sqrt{3}i - 2 = -1 - \sqrt{3}i$ となります。

$A - P = 1 + \sqrt{3}i$ を $4\pi/3$ 回転させた点は、 $(1+\sqrt{3}i)(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{2}i^2 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \sqrt{3}i = 1 - \sqrt{3}i$ です。

したがって、この頂点は $P + (1 - \sqrt{3}i) = 1 - \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i = 2 - 2\sqrt{3}i$ となります。

3. 最終的な答え

$-1-\sqrt{3}i$ と $2-2\sqrt{3}i$