$\sqrt{2} \sin\theta - \sqrt{6} \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sqrt{2} \sin\theta - \sqrt{6} \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

$a \sin\theta + b \cos\theta = r \sin(\theta + \alpha)$

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$, $\sin\alpha = \frac{b}{r}$ を満たす。

与えられた式では、$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{6}$ である。

したがって、$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

次に、$\alpha$ を求める。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\alpha$ は、$-\pi < \alpha < \pi$ の範囲で $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$\sqrt{2} \sin\theta - \sqrt{6} \cos\theta = 2\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ となる。

3. 最終的な答え

$2 \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

ソ = 2

タ = 2

チ = 3