右図において、塔の高さCDは60mであり、$\angle CAD = 30^{\circ}$、$\angle CBD = 45^{\circ}$、$\angle ADB = 30^{\circ}$である。AとB間の距離ABを求めよ。

1. 問題の内容

右図において、塔の高さCDは60mであり、$\angle CAD = 30^{\circ}$、$\angle CBD = 45^{\circ}$、$\angle ADB = 30^{\circ}$である。AとB間の距離ABを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle CBD$に注目します。$\angle CBD = 45^{\circ}$、$\angle CDB = 90^{\circ}$であるから、$\triangle CBD$は直角二等辺三角形です。したがって、$CD = BD = 60$mとなります。

次に、$\triangle ABD$に注目します。$\angle ADB = 30^{\circ}$、$BD = 60$mです。正弦定理より、$AB/\sin{\angle ADB} = BD/\sin{\angle BAD}$です。$\angle CAD = 30^{\circ}$、$\angle ADB = 30^{\circ}$なので、$\angle ABD = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle BAD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - \angle BAD$となります。

$\angle BAD = 180 - \angle ADB - \angle ABD = 180 - 30 - (180 - \angle ADB - \angle BAD) = 150 - 45 = 105$

$\triangle ABD$について、$\angle ADB=30^{\circ}$、$\angle DBA = 180^{\circ}-(30^{\circ}+30^{\circ}+15^{\circ}) = 180^{\circ}-75^{\circ} = 45^{\circ}$なので、$\angle DAB = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ} = 105^{\circ}$

正弦定理より、$AB/\sin(\angle ADB) = BD/\sin(\angle DAB)$なので、$AB/\sin(30^{\circ}) = 60/\sin(105^{\circ})$

$AB = 60\sin(30^{\circ})/\sin(105^{\circ}) = 60*(1/2)/(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = 30*4/(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 120/(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$120/(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 120(\sqrt{6}-\sqrt{2})/(6-2) = 120(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4 = 30(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

次に$\triangle ADC$に着目します。$\tan{30^{\circ}} = CD/AD$なので、$AD = CD/\tan{30^{\circ}} = 60/(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 60\sqrt{3}$となります。

$\triangle ADB$について、余弦定理を用いて$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2AD\cdot BD\cos{30^{\circ}}$を計算すると、

$AB^{2}=(60\sqrt{3})^{2}+60^{2}-2\cdot 60\sqrt{3}\cdot 60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10800+3600-10800=3600$

よって$AB = \sqrt{3600} = 60$

$\angle ABD = 45° + 30° = 75°$

$\angle A = 180° - 30° - 75° = 75°$

$\triangle ABD$において$\angle A = \angle ABD = 75°$より、$AD = BD = 60$

$\triangle ADC$において$AD = CD / tan30°$よって、$CD = AD \times tan30° = 60 / \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$

これは$CD = 60$と矛盾するので、$\angle ADB$と$\angle CBD$の間の角度が30°であるという情報が誤りである可能性があります。

ただし、角度が与えられた通りだとすると、$\triangle ADC$において，$AD = \frac{CD}{\tan 30^{\circ}} = \frac{60}{1/\sqrt{3}} = 60\sqrt{3}$

$\triangle BDC$において、$BD = CD = 60$

$\triangle ADB$に余弦定理を用いると、$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD*BD\cos 30 = (60\sqrt{3})^2 + 60^2 - 2*60\sqrt{3}*60\frac{\sqrt{3}}{2}=10800+3600 - 10800=3600$

よって$AB=60$

3. 最終的な答え

60 m