$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の公式を使って変形する。

$y = \sin^2 x - \cos^2 x + 2 \sin x \cos x$

$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x$

三角関数の2倍角の公式より、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ および $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので、

$y = -\cos 2x + \sin 2x$

次に、$y$ を合成する。

$y = \sin 2x - \cos 2x$

$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x \right)$

$y = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin 2x - \sin \frac{\pi}{4} \cos 2x \right)$

$y = \sqrt{2} \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$

与えられた $x$ の範囲は $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ であるから、

$0 \le 2x \le \pi$

$-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$t = 2x - \frac{\pi}{4}$ とすると、$-\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4}$ であり、$y = \sqrt{2} \sin t$ である。

$-\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4}$ における $\sin t$ の範囲を考える。

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin t$ は最大値 $1$ をとり、$t = -\frac{\pi}{4}$ のとき $\sin t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。

よって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin t \le 1$

したがって、$y$ の範囲は

$\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \le y \le \sqrt{2} (1)$

$-1 \le y \le \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-1 \le y \le \sqrt{2}$