$\theta$ が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta < 0$ であるから、

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$