3点 $A(1, 1, 1)$, $B(2, 3, 2)$, $C(-1, -2, -3)$ を通る平面上に点 $D(m+6, 1, m+10)$ があるとき、$m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 1, 1)$, $B(2, 3, 2)$, $C(-1, -2, -3)$ を通る平面上に点 $D(m+6, 1, m+10)$ があるとき、$m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平面 $ABC$ 上の任意の点 $P$ は、実数 $s, t$ を用いて次のように表すことができます。

$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

ここで、

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2-1, 3-1, 2-1) = (1, 2, 1)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (-1-1, -2-1, -3-1) = (-2, -3, -4)$

点 $D$ が平面 $ABC$ 上にあるので、

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AD} = (m+6-1, 1-1, m+10-1) = (m+5, 0, m+9)$

したがって、

$(m+5, 0, m+9) = s(1, 2, 1) + t(-2, -3, -4)$

$(m+5, 0, m+9) = (s-2t, 2s-3t, s-4t)$

これより、以下の連立方程式が得られます。

$m+5 = s-2t$ (1)

$0 = 2s-3t$ (2)

$m+9 = s-4t$ (3)

式(2)より、$2s = 3t$, よって $s = \frac{3}{2}t$

式(1)に代入して、$m+5 = \frac{3}{2}t - 2t = -\frac{1}{2}t$

式(3)に代入して、$m+9 = \frac{3}{2}t - 4t = -\frac{5}{2}t$

したがって、

$m+5 = -\frac{1}{2}t$

$m+9 = -\frac{5}{2}t$

これらの式をそれぞれ2倍すると、

$2m+10 = -t$

$2m+18 = -5t$

$t = -2m-10$ を $2m+18 = -5t$ に代入すると、

$2m+18 = -5(-2m-10) = 10m + 50$

$8m = -32$

$m = -4$

3. 最終的な答え

$m = -4$