(1) 座標空間内の4点 A(1, 1, 2), B(p, q, r), C(3, -1, 1), D(5, -3, -4) がこの順に平行四辺形 ABCD の頂点をなすとき、p, q, r の値を求める。 (2) 座標空間における3点 A(1, -1, 5), B(4, 5, 2), C(a, b, 0) が一直線上にあるとき、a, b の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 座標空間内の4点 A(1, 1, 2), B(p, q, r), C(3, -1, 1), D(5, -3, -4) がこの順に平行四辺形 ABCD の頂点をなすとき、p, q, r の値を求める。

(2) 座標空間における3点 A(1, -1, 5), B(4, 5, 2), C(a, b, 0) が一直線上にあるとき、a, b の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形 ABCD において、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{AB} = (p-1, q-1, r-2)$

$\overrightarrow{DC} = (3-5, -1-(-3), 1-(-4)) = (-2, 2, 5)$

したがって、$p-1 = -2$, $q-1 = 2$, $r-2 = 5$

これらを解くと、$p = -1$, $q = 3$, $r = 7$

(2) 3点 A, B, C が一直線上にあるとき、$\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$ を満たす実数 k が存在する。

$\overrightarrow{AB} = (4-1, 5-(-1), 2-5) = (3, 6, -3)$

$\overrightarrow{AC} = (a-1, b-(-1), 0-5) = (a-1, b+1, -5)$

よって、$(3, 6, -3) = k(a-1, b+1, -5)$

したがって、$3 = k(a-1)$, $6 = k(b+1)$, $-3 = -5k$

最後の式より、$k = \frac{3}{5}$

これを最初の2つの式に代入すると、$3 = \frac{3}{5}(a-1)$, $6 = \frac{3}{5}(b+1)$

$5 = a-1$, $10 = b+1$

これらを解くと、$a = 6$, $b = 9$

3. 最終的な答え

(1) $p = -1$, $q = 3$, $r = 7$

(2) $a = 6$, $b = 9$