円Oにおいて、ATは点Aにおける接線である。$\angle ABC = 22^{\circ}$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ATは点Aにおける接線である。$\angle ABC = 22^{\circ}$のとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle AOC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 22^{\circ} = 44^{\circ}$

* 接線と弦のなす角の定理より、$\angle CAT = \angle ABC = 22^{\circ}$

* $\triangle AOC$は二等辺三角形であるから、$\angle OAC = \angle OCA$。

* $\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ}$なので、

$44^{\circ} + \angle OAC + \angle OAC = 180^{\circ}$

$2 \angle OAC = 180^{\circ} - 44^{\circ}$

$2 \angle OAC = 136^{\circ}$

$\angle OAC = 68^{\circ}$

* $\angle OAT$は半径と接線で作られる角なので、$\angle OAT = 90^{\circ}$

* $\angle x = \angle OAT - \angle OAC - \angle CAT$

$\angle x = 90^{\circ} - 68^{\circ} - 22^{\circ}$

$\angle x = 0^{\circ}$

接弦定理を使うと、$\angle CAT = \angle ABC = 22^\circ$。

$\angle OAC = 68^\circ$ なので、$\angle OAT = 90^\circ$（接線であるため）

よって、$\angle x = \angle TAC = 22^\circ$　より、$\angle x = \angle OAT - \angle OAC$

$\angle x = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$ なので、接弦定理により、$\angle x = \angle ABC = 22^\circ$

3. 最終的な答え

22°