問題6と7があります。 問題6は、与えられた三角関数を$r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \leq \pi$とします。 (1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $\sin\theta - \cos\theta$ 問題7は、$0 \leq x < 2\pi$のとき、与えられた三角関数を合成し、方程式を解く問題です。 (1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ (2) $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = 2$

1. 問題の内容

問題6と7があります。

問題6は、与えられた三角関数を$r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \leq \pi$とします。

(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$

問題7は、$0 \leq x < 2\pi$のとき、与えられた三角関数を合成し、方程式を解く問題です。

(1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = 2$

2. 解き方の手順

問題6 (1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形します。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

問題6 (2) $\sin\theta - \cos\theta$

$\sin\theta - \cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形します。

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

よって、

$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

問題7 (1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = r\sin(x + \alpha)$の形に変形します。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$

$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、

$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

$x = \frac{3\pi + 2\pi}{12}, \frac{9\pi + 2\pi}{12}$

$x = \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$

問題7 (2) $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = 2$

$\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = r\sin(x + \alpha)$の形に変形します。

$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2+6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、

$2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 2$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}$

$x = \frac{3\pi - 4\pi}{12}, \frac{9\pi - 4\pi}{12}$

$x = -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$

$0 \leq x < 2\pi$なので

$x = 2\pi - \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$

$x = \frac{24\pi - \pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$

$x = \frac{23\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

問題6:

(1) $2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

問題7:

(1) $x = \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}$

(2) $x = \frac{5\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$