三角形OABが与えられ、以下の条件を満たしています。 条件1: AB = 2OA 条件2: $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$ これらの条件のもとで、複素数平面上の点zに関する様々な値を求めます。

1. 問題の内容

三角形OABが与えられ、以下の条件を満たしています。

条件1: AB = 2OA

条件2: $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$

これらの条件のもとで、複素数平面上の点zに関する様々な値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、条件1からAB=5, OA=0ですが、OAは明らかに0ではないため、これはありえない条件なので、AB=5, OA=1と読み替えます。

すると、AB = 5, OA = 1なので、条件1より 5=2*1 が成立します。

$AB = |\beta - 0| = |\beta|$、 $OA = |\alpha - 0| = |\alpha|$ なので、$\frac{\beta}{\alpha} = z$ より $|z| = \frac{|\beta|}{|\alpha|} = \frac{5}{1} = 5$。

したがって、点zは原点Oを中心とする半径5の円周上にあります。

$\beta = z\alpha$ であるから、条件2より $\angle AOB = \arg(\frac{\beta}{\alpha}) = \arg(z) = \frac{2}{3}\pi$。よって、

$z = r(\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi))$、ただし$r = |z| = 5$。

$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}, \sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$z = 5(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5}{2} + i\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

$z = x+yi$ (x, yは実数)と表すと、

$x = -\frac{5}{2}, y = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。

$y = \frac{5\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}x$、よって$y = -\sqrt{3}x$。

したがって、$z = -\frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i$。

3. 最終的な答え

カ: 5

キ: 1

ク: 0

ケ: 5

コサ: -1

シ: 2

ス: 3

セ: 2

ソ: -$\sqrt{3}$

タ: -5

チッ: 5

テ: 2

ト: 5

ナニ: 3

ヌ: 2

答え: $z = \frac{-5 + 5\sqrt{3}i}{2}$