与えられた関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = 3^{\frac{x}{4}}$ (2) $f(x) = \log_2{\sqrt{x}+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = 3^{\frac{x}{4}}$

(2) $f(x) = \log_2{\sqrt{x}+1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3^{\frac{x}{4}}$ の場合

1. $y = f(x)$ と置く。つまり、$y = 3^{\frac{x}{4}}$。

2. $x$ と $y$ を入れ替える。つまり、$x = 3^{\frac{y}{4}}$。

3. $y$ について解く。両辺の対数を底3でとると、$\log_3{x} = \frac{y}{4}$。

4. よって、$y = 4\log_3{x}$。

5. $f^{-1}(x) = 4\log_3{x}$。

(2) $f(x) = \log_2{\sqrt{x}+1}$ の場合

1. $y = f(x)$ と置く。つまり、$y = \log_2{\sqrt{x}+1}$。

2. $x$ と $y$ を入れ替える。つまり、$x = \log_2{\sqrt{y}+1}$。

3. $y$ について解く。まず、両辺を2の指数とする。$2^x = \sqrt{y}+1$。

4. $\sqrt{y} = 2^x - 1$

5. 両辺を2乗する。$y = (2^x - 1)^2$

6. $f^{-1}(x) = (2^x - 1)^2$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = 4\log_3{x}$

(2) $f^{-1}(x) = (2^x - 1)^2$