与えられた式 $\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x-3}{x^2-1} + \frac{3x}{x^2+x-2}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x}{(x+2)(x-1)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $(x-1)(x+1)(x+2)$ です。

それぞれの分数を共通分母で書き換えます。

$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} + \frac{3x(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子を展開します。

$\frac{x^2-x-6}{(x-1)(x+1)(x+2)} + \frac{3x^2+3x}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

分子を足し合わせます。

$\frac{x^2-x-6 + 3x^2+3x}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{4x^2+2x-6}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$4x^2+2x-6 = 2(2x^2+x-3) = 2(2x+3)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$(x-1)$を分子と分母からキャンセルします。

$\frac{2(2x+3)}{(x+1)(x+2)}$

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x+6}{x^2+3x+2}$