右の表は、生徒9人に対して行われた英語と数学のテストの結果である。 (1) 生徒5の英語の得点Aを求め、9人の英語の得点の分散Bの値を求める。 また、9人の数学の得点の平均値が15.0点、分散の値が10.00であることから、英語と数学の得点の相関係数の値を求める。

1. 問題の内容

右の表は、生徒9人に対して行われた英語と数学のテストの結果である。

(1) 生徒5の英語の得点Aを求め、9人の英語の得点の分散Bの値を求める。

また、9人の数学の得点の平均値が15.0点、分散の値が10.00であることから、英語と数学の得点の相関係数の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、英語の平均点が16点であることから、生徒5の英語の得点Aを求める。

英語の合計点は、$9 \times 16 = 144$。

生徒1から生徒9の英語の得点を足し合わせると、$9 + 20 + 18 + 18 + A + 18 + 14 + 15 + 18 = 130 + A$。

したがって、$130 + A = 144$より、$A = 14$。

次に、英語の分散Bを求める。

分散の定義は、$B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$。

ここで、$x_i$は各生徒の英語の得点、$\bar{x}$は英語の平均点である。

各生徒の英語の得点と平均との差の二乗を計算すると、

$(9-16)^2 = 49$

$(20-16)^2 = 16$

$(18-16)^2 = 4$

$(18-16)^2 = 4$

$(14-16)^2 = 4$

$(18-16)^2 = 4$

$(14-16)^2 = 4$

$(15-16)^2 = 1$

$(18-16)^2 = 4$

これらの合計は、$49 + 16 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1 + 4 = 90$。

したがって、分散$B = \frac{90}{9} = 10$。

相関係数を求めるためには、共分散が必要。

共分散は、各生徒について、（英語の偏差）×（数学の偏差）を計算し、それを合計して人数で割ったもの。

英語の偏差：

-7, 4, 2, 2, -2, 2, -2, -1, 2

数学の偏差：

0, 5, -1, 2, -7, 3, -1, -1, 0

共分散=$((-7) \times 0 + 4 \times 5 + 2 \times (-1) + 2 \times 2 + (-2) \times (-7) + 2 \times 3 + (-2) \times (-1) + (-1) \times (-1) + 2 \times 0) / 9 = (0 + 20 - 2 + 4 + 14 + 6 + 2 + 1 + 0) / 9 = 45 / 9 = 5$。

英語の標準偏差 = $\sqrt{10} = 3.16227766...$

数学の標準偏差 = $\sqrt{10} = 3.16227766...$

相関係数 = $\frac{共分散}{英語の標準偏差 \times 数学の標準偏差} = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{10} = 0.5$。

3. 最終的な答え

生徒5の英語の得点Aは 14 点。

9人の英語の得点の分散Bの値は 10 。

英語と数学の得点の相関係数の値は 0.5 。