数直線上の点Pが原点からスタートし、硬貨を投げるごとに表が出れば正の方向に1、裏が出れば負の方向に1動きます。Pが初めて正または負の方向に動いた後、原点に戻るたびに1点を獲得します。 (1) 硬貨を2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めます。 (2) 硬貨を4回投げたとき、(i) Pが原点にある確率、(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率、(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めます。 (3) 硬貨を6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めます。

1. 問題の内容

数直線上の点Pが原点からスタートし、硬貨を投げるごとに表が出れば正の方向に1、裏が出れば負の方向に1動きます。Pが初めて正または負の方向に動いた後、原点に戻るたびに1点を獲得します。

(1) 硬貨を2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めます。

(2) 硬貨を4回投げたとき、(i) Pが原点にある確率、(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率、(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めます。

(3) 硬貨を6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2回硬貨を投げた時、原点にいるためには表と裏が1回ずつ出る必要があります。

表裏の順番は2通りなので、確率は

$\frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2)

(i) 4回硬貨を投げた時、原点にいるためには表と裏が2回ずつ出る必要があります。表裏の順番の組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

確率は

$\frac{6}{2^4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

(ii) 4回目に初めて1点を獲得するということは、1回目、2回目、3回目は原点に戻らず、4回目に原点に戻るということです。

1回目は表または裏が出ます。

2回目までに原点に戻らないためには、1回目と逆の面が出ないといけません。つまり、1回目に表が出たら2回目に表が出てはいけないし、1回目に裏が出たら2回目に裏が出てはいけません。したがって、2回目に原点に戻ることはありません。

3回目までに原点に戻らないためには、1回目と2回目が同じ方向であれば、3回目は逆の方向に出ないといけません。つまり、1回目に表、2回目に表ならば、3回目は裏が出る必要があります。1回目に裏、2回目に裏ならば、3回目は表が出る必要があります。

4回目に初めて原点に戻るには、1回目、2回目、3回目で原点に戻らず、4回目に原点に戻る必要があります。1回目を表とすると、2回目も表、3回目は裏と確定し、4回目は裏が出ると初めて原点に戻ります。確率は($1/2)^4$ = $1/16$。1回目を裏とした場合も同様に確率は$1/16$となるため、確率は

$\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

(iii)

4回硬貨を投げたときに獲得できる点数は0点または1点です。

0点のとき、4回投げて原点に初めて戻る場合を除き、一度も原点に戻らない場合です。

1点のとき、4回目に初めて原点に戻る場合と、それ以前に原点に戻っている場合です。

4回投げて原点に戻る確率は$3/8$です。

4回目に初めて原点に戻る確率は$1/8$です。

4回投げて1点獲得する確率は$3/8$です。

期待値は$1 \times \frac{3}{8} + 0 \times (1-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8}$

(3) 6回硬貨を投げて1点も獲得しないということは、一度も原点に戻らないということです。

1回目に表が出た場合、6回投げて一度も原点に戻らない確率を考えます。

この場合、一度も原点に戻らないためには、表が6回出るか、表が5回、裏が1回出る必要があります。表が5回、裏が1回の場合、裏は2回目から6回目のいずれかに出る必要があります。

1回目に裏が出た場合も同様です。

6回全て表または全て裏の場合：確率 = $\frac{2}{2^6} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$

表が5回、裏が1回の場合：$_5C_1 = 5$通りなので、確率は$\frac{2 \times 5}{2^6} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$

よって、1点も獲得しない確率は$\frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) (i) $\frac{3}{8}$ (ii) $\frac{1}{8}$ (iii) $\frac{3}{8}$

(3) $\frac{3}{16}$