黒谷さんが25曲歌ったところ、平均点が80.0点だった。母標準偏差が2.5点とわかっている場合と、標本標準偏差が2.5点の場合について、真の平均点が95%および99%の確率で何点から何点の間に存在するかを求める。

1. 問題の内容

黒谷さんが25曲歌ったところ、平均点が80.0点だった。母標準偏差が2.5点とわかっている場合と、標本標準偏差が2.5点の場合について、真の平均点が95%および99%の確率で何点から何点の間に存在するかを求める。

2. 解き方の手順

まず、母分散が既知の場合の信頼区間を求める。

次に、母分散が未知の場合の信頼区間を求める。

(1) 母分散が既知の場合

標準正規分布を用いる。

95%信頼区間は、$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

99%信頼区間は、$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}=80.0$, $\sigma=2.5$, $n=25$

$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布のパーセント点であり、95%信頼区間では1.96、99%信頼区間では2.576となる。

(2) 母分散が未知の場合

t分布を用いる。

95%信頼区間は、$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

99%信頼区間は、$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}=80.0$, $s=2.5$, $n=25$

自由度は、$n-1 = 25-1 = 24$

t分布表より、$t_{0.025, 24} = 2.064$, $t_{0.005, 24} = 2.797$

それぞれの空欄を埋めていく。

5: 1.96

6: 2.5

7: 25

8: 5

9: 1.96

10: 2.576

11: 2.576

12: 80

13: 1.96

14: 2.5

15: 25

16: 80

17: 1.96

18: 2.5

19: 25

20: 79.02

21: 80.98

22: 78.768

23: 81.232

26: 標本標準

27: t分布

28: t

29: 2.064 * (2.5 / sqrt(25)) = 1.032

30: 2.797 * (2.5 / sqrt(25)) = 1.3985

31: 2.797

32: 2.5

33: 25

34: 5

35: 2.797

36: 80

37: 1.3985

38: 80

39: 2.797

40: 2.5

41: 25

42: 80

43: 2.797

44: 2.5

45: 25

46: 78.6015

47: 81.3985

48: 78.6015

49: 81.3985

50: 78.6015

51: 81.3985

3. 最終的な答え

母標準偏差が既知の場合：

95%信頼区間：79.02点から80.98点

99%信頼区間：78.768点から81.232点

母標準偏差が未知の場合：

99%信頼区間：78.6015点から81.3985点