3人でカードゲームを行う。各プレイヤーは0, 1, 2のカードを1枚ずつ持っている。順番はベーコン太郎、トラベーコンちゃん、リボンくんの順で、時計回りである。各ターンのプレイヤーは、持っているカードの最大値の総和以下の0以上の整数を唱え、同時に全員がカードを出す。もし唱えた数と出されたカードの合計が一致すれば、唱えた人は一番大きいカードを捨てることができる。 (1) ベーコン太郎が最初のターンでカードを捨てる確率を求めよ。 (2) 3ターンを終えて、全員がカードを捨てる確率を求めよ。 (3) ベーコン太郎が最小のターン数で偉い人になる確率を求めよ。

1. 問題の内容

3人でカードゲームを行う。各プレイヤーは0, 1, 2のカードを1枚ずつ持っている。順番はベーコン太郎、トラベーコンちゃん、リボンくんの順で、時計回りである。各ターンのプレイヤーは、持っているカードの最大値の総和以下の0以上の整数を唱え、同時に全員がカードを出す。もし唱えた数と出されたカードの合計が一致すれば、唱えた人は一番大きいカードを捨てることができる。

(1) ベーコン太郎が最初のターンでカードを捨てる確率を求めよ。

(2) 3ターンを終えて、全員がカードを捨てる確率を求めよ。

(3) ベーコン太郎が最小のターン数で偉い人になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベーコン太郎が最初のターンでカードを捨てる確率

ベーコン太郎が最初のターンにカードを捨てるためには、ベーコン太郎が唱えた数と、全員が出したカードの合計が一致する必要がある。

ベーコン太郎が最初にカードを捨てるためには、唱えることができる数字は0, 1, 2である。なぜなら、ベーコン太郎は最初に0, 1, 2のカードを持っているため、最大値は2である。

全員のカードの出し方の組み合わせは $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りである。

- ベーコン太郎が0を唱えた場合:

- 全員のカードの合計が0になる必要がある。これは、全員が0を出した場合のみなので、1通り。

- ベーコン太郎が1を唱えた場合:

- 全員のカードの合計が1になる必要がある。これは、(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)の3通り。

- ベーコン太郎が2を唱えた場合:

- 全員のカードの合計が2になる必要がある。(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)の6通り。

したがって、ベーコン太郎が最初のターンでカードを捨てられるのは $1 + 3 + 6 = 10$ 通りである。

確率は $\frac{10}{27}$ となる。

(2) 3ターンを終えて、全員がカードを捨てる確率

3ターンを終えて、全員がカードを捨てるということは、ベーコン太郎、トラベーコンちゃん、リボンくんの3人がそれぞれ1枚ずつカードを捨てるということである。

これは、3人全員が1回ずつ、唱えた数とカードの合計が一致する必要がある。

それぞれの人がカードを捨てるパターンを考えるのは複雑なので、全員がカードを捨てられる可能性を考える。

(3) ベーコン太郎が最小のターン数で偉い人になる確率

ベーコン太郎が最小のターン数で偉い人になるには、2ターンで2枚カードを捨てる必要がある。

1ターン目に1枚カードを捨て、2ターン目に残りの1枚を捨てる必要がある。

- 1ターン目にベーコン太郎がカードを捨てる確率は $\frac{10}{27}$ である。

- 1ターン目にベーコン太郎がカードを捨てた場合、ベーコン太郎が持っているカードは2枚から1枚になる。

- 2ターン目にベーコン太郎に順番が回ってきたとき、ベーコン太郎がカードを捨てる確率を考える。このとき、ベーコン太郎は1枚だけカードを持っているので、そのカードを捨てるためには、唱える数と全員の出したカードの合計が一致する必要がある。

また、ベーコン太郎が最も早くカードを捨てるには、2ターンで終わる必要がある。すなわち、1ターン目と2ターン目でベーコン太郎がカードを捨てる必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{27}$

(2) 解答不能

(3) 解答不能