問題5：6匹の鮭の体長（68cm, 71cm, 74cm, 75cm, 77cm, 78cm）が与えられたとき、この種類の鮭の体長の母平均$\mu$を信頼係数95%で推定し、信頼限界を小数第1位まで求め、計算過程を示す。

1. 問題の内容

問題5：6匹の鮭の体長（68cm, 71cm, 74cm, 75cm, 77cm, 78cm）が与えられたとき、この種類の鮭の体長の母平均$\mu$を信頼係数95%で推定し、信頼限界を小数第1位まで求め、計算過程を示す。

2. 解き方の手順

ステップ1：標本平均$\bar{x}$を計算する。

$\bar{x} = \frac{68 + 71 + 74 + 75 + 77 + 78}{6} = \frac{443}{6} \approx 73.83$

ステップ2：標本不偏分散$s^2$を計算する。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

$s^2 = \frac{(68-73.83)^2 + (71-73.83)^2 + (74-73.83)^2 + (75-73.83)^2 + (77-73.83)^2 + (78-73.83)^2}{6-1}$

$s^2 \approx \frac{34.0 + 8.0 + 0.03 + 1.37 + 10.0 + 17.4}{5} = \frac{70.8}{5} \approx 14.16$

ステップ3：標本標準偏差$s$を計算する。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{14.16} \approx 3.76$

ステップ4：信頼区間を計算する。標本数が小さいのでt分布を用いる。自由度$df = n - 1 = 6 - 1 = 5$。信頼係数95%のt値は、t分布表から$t_{0.025,5} \approx 2.571$。

信頼区間は、$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$で与えられる。

信頼区間 = $73.83 \pm 2.571 \cdot \frac{3.76}{\sqrt{6}}$

信頼区間 = $73.83 \pm 2.571 \cdot \frac{3.76}{2.449} \approx 73.83 \pm 2.571 \cdot 1.535 \approx 73.83 \pm 3.946$

下限 = $73.83 - 3.95 \approx 69.88$

上限 = $73.83 + 3.95 \approx 77.78$

ステップ5：信頼限界を小数第1位まで求める。

下限 = 69.9 cm

上限 = 77.8 cm

3. 最終的な答え

母平均$\mu$の95%信頼区間は(69.9 cm, 77.8 cm)である。