K市の18歳男子12人の身長を調べたところ、平均身長 $\bar{x} = 174.9$ cm、不偏分散 $\hat{\sigma}^2 = 43.2$ cm$^2$ であった。日本全国の18歳男子の平均身長は $\mu = 171.2$ cm である。K市の18歳男子の平均身長が日本全国の18歳男子の平均身長と比べて高いと言えるかを、有意水準5%で両側検定する。帰無仮説、対立仮説、限界値を求め、検定結果を示す。

## 問6 (1)

1. 問題の内容

K市の18歳男子12人の身長を調べたところ、平均身長 $\bar{x} = 174.9$ cm、不偏分散 $\hat{\sigma}^2 = 43.2$ cm$^2$ であった。日本全国の18歳男子の平均身長は $\mu = 171.2$ cm である。K市の18歳男子の平均身長が日本全国の18歳男子の平均身長と比べて高いと言えるかを、有意水準5%で両側検定する。帰無仮説、対立仮説、限界値を求め、検定結果を示す。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を設定する。

* $H_0$: $\mu = 171.2$ （K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と同じ）

* $H_1$: $\mu \ne 171.2$ （K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と異なる）

(2) 検定統計量 $t$ を計算する。標本サイズが小さいので、$t$検定を行う。母分散が未知なので、不偏分散から推定する。

$t = \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{n}}}$

$t = \frac{174.9 - 171.2}{\sqrt{\frac{43.2}{12}}} = \frac{3.7}{\sqrt{3.6}} = \frac{3.7}{1.897} \approx 1.95$

(3) 自由度 $\nu = n - 1 = 12 - 1 = 11$ の $t$ 分布における有意水準5%の両側検定の限界値を求める。$t$分布表から、$\alpha/2 = 0.025$、$\nu = 11$ の時の $t$ 値は $t_{0.025, 11} = 2.201$ である。

(4) 検定統計量 $t$ と限界値を比較する。

$|t| = |1.95| = 1.95 < 2.201 = t_{0.025, 11}$

(5) 結果を判断する。

検定統計量 $t$ の絶対値が限界値より小さいため、帰無仮説 $H_0$ を棄却できない。

3. 最終的な答え

* 帰無仮説: $H_0$: $\mu = 171.2$

* 対立仮説: $H_1$: $\mu \ne 171.2$

* 検定統計量: $t \approx 1.95$

* 限界値: $t_{0.025, 11} = 2.201$

* 結論: 有意水準5%で、K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と異なるとは言えない。

## 問6 (2)

1. 問題の内容

問6(1) と同じ設定で、有意水準を10%として両側検定を行う。検定結果と限界値を示す。

2. 解き方の手順

(1) 検定統計量 $t$ は問6(1)で計算済みなので、そのまま利用する。$t \approx 1.95$

(2) 自由度 $\nu = 11$ の $t$ 分布における有意水準10%の両側検定の限界値を求める。$t$分布表から、$\alpha/2 = 0.05$、$\nu = 11$ の時の $t$ 値は $t_{0.05, 11} = 1.796$ である。

(3) 検定統計量 $t$ と限界値を比較する。

$|t| = |1.95| = 1.95 > 1.796 = t_{0.05, 11}$

(4) 結果を判断する。

検定統計量 $t$ の絶対値が限界値より大きいため、帰無仮説 $H_0$ を棄却する。

3. 最終的な答え

* 限界値: $t_{0.05, 11} = 1.796$

* 結論: 有意水準10%で、K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と異なると言える。

## 問7

1. 問題の内容

ガの幼虫を7匹ずつ2つのグループに分け、一方を15℃、他方を20℃で飼育した。それぞれのグループの生育日数の平均と不偏分散が与えられている。この平均の差に対して有意水準5%で検定を行い、室温の差がガの生育日数に影響を与えたかどうか判断する。帰無仮説、対立仮説、限界値、検定結果を示す。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を設定する。

* $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$ （室温の差はガの生育日数に影響を与えない）

* $H_1$: $\mu_1 \ne \mu_2$ （室温の差はガの生育日数に影響を与える）

(2) 検定統計量 $t$ を計算する。

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{(\hat{\sigma}_1^2 + \hat{\sigma}_2^2)/n}}$

$t = \frac{34 - 25}{\sqrt{(4.667 + 4.667)/7}} = \frac{9}{\sqrt{9.334/7}} = \frac{9}{\sqrt{1.333}} \approx \frac{9}{1.155} \approx 7.79$

(3) 自由度を計算する。2群の標本サイズが等しいので、$\nu = n_1 + n_2 - 2 = 7 + 7 - 2 = 12$

(4) 自由度 $\nu = 12$ の $t$ 分布における有意水準5%の両側検定の限界値を求める。$t$分布表から、$\alpha/2 = 0.025$、$\nu = 12$ の時の $t$ 値は $t_{0.025, 12} = 2.179$ である。

(5) 検定統計量 $t$ と限界値を比較する。

$|t| = |7.79| = 7.79 > 2.179 = t_{0.025, 12}$

(6) 結果を判断する。

検定統計量 $t$ の絶対値が限界値より大きいため、帰無仮説 $H_0$ を棄却する。

3. 最終的な答え

* 帰無仮説: $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$

* 対立仮説: $H_1$: $\mu_1 \ne \mu_2$

* 検定統計量: $t \approx 7.79$

* 限界値: $t_{0.025, 12} = 2.179$

* 結論: 有意水準5%で、室温の差はガの生育日数に影響を与えると判断できる。