与えられた6匹の鮭の体長（68cm, 71cm, 74cm, 75cm, 77cm, 78cm）から、この種類の鮭の体長の母平均$\mu$を信頼係数95%で推定し、信頼限界を小数第1位まで求めます。

## 問5

1. **問題の内容**

与えられた6匹の鮭の体長（68cm, 71cm, 74cm, 75cm, 77cm, 78cm）から、この種類の鮭の体長の母平均$\mu$を信頼係数95%で推定し、信頼限界を小数第1位まで求めます。

2. **解き方の手順**

* **標本平均$\bar{x}$を計算する**:

$\bar{x} = \frac{68 + 71 + 74 + 75 + 77 + 78}{6} = \frac{443}{6} \approx 73.83$ cm

* **不偏分散$s^2$を計算する**:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

$s^2 = \frac{(68-73.83)^2 + (71-73.83)^2 + (74-73.83)^2 + (75-73.83)^2 + (77-73.83)^2 + (78-73.83)^2}{6-1}$

$s^2 \approx \frac{34.0 + 8.0 + 0.03 + 1.37 + 10.0 + 17.4}{5} = \frac{70.8}{5} \approx 14.16$

* **標準誤差SEを計算する**:

$SE = \sqrt{\frac{s^2}{n}} = \sqrt{\frac{14.16}{6}} \approx \sqrt{2.36} \approx 1.54$

* **自由度dfを求める**:

$df = n - 1 = 6 - 1 = 5$

* **t値を求める**:

信頼係数95%で自由度5のt分布におけるt値を求めます。t分布表から$t_{0.025, 5} \approx 2.571$

* **信頼区間を計算する**:

信頼区間は$\bar{x} \pm t \times SE$ で与えられます。

$73.83 \pm 2.571 \times 1.54$

$73.83 \pm 3.959$

したがって、信頼区間は(69.871, 77.789)

3. **最終的な答え**

母平均$\mu$の95%信頼区間は(69.9 cm, 77.8 cm)です。

## 問6 (1)

1. **問題の内容**

K市の18歳男子12人の平均身長が174.9cm、不偏分散が43.2cm²であったとき、K市の18歳男子の平均身長が日本全国の18歳男子の平均身長171.2cmより高いかどうかを、有意水準5%で両側検定します。

2. **解き方の手順**

* **帰無仮説H0**: K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と等しい($\mu = 171.2$ cm)。

* **対立仮説H1**: K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と異なる($\mu \ne 171.2$ cm)。

* **検定統計量tを計算する**:

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}$

$t = \frac{174.9 - 171.2}{\sqrt{\frac{43.2}{12}}} = \frac{3.7}{\sqrt{3.6}} \approx \frac{3.7}{1.897} \approx 1.95$

* **自由度dfを求める**:

$df = n - 1 = 12 - 1 = 11$

* **限界値(critical value)を求める**:

自由度11のt分布において、有意水準5%の両側検定の限界値を求めます。t分布表から$t_{0.025, 11} \approx 2.201$。

* **結論**:

計算されたt値（1.95）は、限界値（2.201）よりも小さいので、帰無仮説を棄却できません。

3. **最終的な答え**

* 帰無仮説：K市の18歳男子の平均身長は171.2cmである。

* 対立仮説：K市の18歳男子の平均身長は171.2cmと異なる。

* 検定統計量：t = 1.95

* 限界値：2.201

* 結論：有意水準5%で帰無仮説は棄却されない。K市の18歳男子の平均身長が日本全国の18歳男子の平均身長より高いとは言えない。

## 問6 (2)

問6(1)と同じ検定を有意水準10%で行います。

* **限界値(critical value)を求める**:

自由度11のt分布において、有意水準10%の両側検定の限界値を求めます。t分布表から$t_{0.05, 11} \approx 1.796$。

* **結論**:

計算されたt値（1.95）は、限界値（1.796）よりも大きいので、帰無仮説を棄却します。

* **最終的な答え**

* 検定統計量：t = 1.95

* 限界値：1.796

* 結論：有意水準10%で帰無仮説は棄却される。K市の18歳男子の平均身長は日本全国の18歳男子の平均身長と異なると言える。

## 問7

1. **問題の内容**

ガの幼虫を2つのグループに分け、それぞれ15℃と20℃で飼育したときの生育日数について、平均の差に対して有意水準5%で検定し、室温の差がガの生育日数に影響を与えたかどうか判断します。

2. **解き方の手順**

* **帰無仮説H0**: 室温の差はガの生育日数に影響を与えない($\mu_1 = \mu_2$)。

* **対立仮説H1**: 室温の差はガの生育日数に影響を与える($\mu_1 \ne \mu_2$)。

* **検定統計量tを計算する**:

$t = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{\sqrt{(\frac{s_1^2}{n} + \frac{s_2^2}{n})}}$

$t = \frac{34 - 25}{\sqrt{(\frac{4.667}{7} + \frac{4.667}{7})}} = \frac{9}{\sqrt{\frac{9.334}{7}}} \approx \frac{9}{\sqrt{1.333}} \approx \frac{9}{1.155} \approx 7.79$

* **自由度dfを求める**:

$df = 2(n-1) = 2(7-1) = 12$

* **限界値を求める**:

自由度12のt分布において、有意水準5%の両側検定の限界値を求めます。t分布表から$t_{0.025, 12} \approx 2.179$。

* **結論**:

計算されたt値（7.79）は、限界値（2.179）よりも大きいので、帰無仮説を棄却します。

3. **最終的な答え**

* 帰無仮説：室温の差はガの生育日数に影響を与えない。

* 対立仮説：室温の差はガの生育日数に影響を与える。

* 検定統計量：t = 7.79

* 限界値：2.179

* 結論：有意水準5%で帰無仮説は棄却される。室温の差はガの生育日数に影響を与えると言える。