(1) 10個のデータ $2, 6, 8, 4, 3, x, 2, 4, 6, 9$ (ただし、$x$は不明) が与えられている。このデータの平均値が5、最頻値が2、中央値が3であるとき、$x$の値を求める。 (2) Y大学で$5n$人の学生が数学を受験した。$3n$人の学生が$a$点、残りの$2n$人の学生が$b$点を取った。この得点の分散を求める。

1. 問題の内容

(1) 10個のデータ $2, 6, 8, 4, 3, x, 2, 4, 6, 9$ (ただし、$x$は不明) が与えられている。このデータの平均値が5、最頻値が2、中央値が3であるとき、$x$の値を求める。

(2) Y大学で$5n$人の学生が数学を受験した。$3n$人の学生が$a$点、残りの$2n$人の学生が$b$点を取った。この得点の分散を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 10個のデータの合計を計算する。平均値が5なので、データの合計は$5 \times 10 = 50$。

* 与えられたデータの合計は$2+6+8+4+3+2+4+6+9 = 44$。

* よって、$x = 50 - 44 = 6$。

* データを小さい順に並べると $2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 9$ となる。

* 中央値は5番目と6番目の値の平均なので、$\frac{4+6}{2}=5$となり、中央値が3であるという条件を満たさない。

* $x$ が 2である場合、小さい順に並べると $2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9$ となり、中央値は$\frac{4+4}{2}=4$となる。

* $x$ が 3である場合、小さい順に並べると $2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9$ となり、中央値は$\frac{4+4}{2}=4$となる。

平均値は 5, 最頻値は2, 中央値は3という条件を考慮すると、x = 1である。

データを小さい順に並べると $1, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9$ となる。

中央値は$\frac{4+4}{2} = 4$となるため、与えられた中央値と一致しない。

問題文が不完全である。

(2)

* 平均値$\bar{x}$を計算する。

$\bar{x} = \frac{3n \times a + 2n \times b}{5n} = \frac{3a + 2b}{5}$

* 分散$V$を計算する。

$V = \frac{1}{5n} \sum_{i=1}^{5n} (x_i - \bar{x})^2$

$V = \frac{3n (a - \bar{x})^2 + 2n (b - \bar{x})^2}{5n} = \frac{3 (a - \bar{x})^2 + 2 (b - \bar{x})^2}{5}$

* $\bar{x}$を代入する。

$V = \frac{3 (a - \frac{3a + 2b}{5})^2 + 2 (b - \frac{3a + 2b}{5})^2}{5} = \frac{3 (\frac{2a - 2b}{5})^2 + 2 (\frac{3b - 3a}{5})^2}{5}$

$V = \frac{3 (\frac{4(a-b)^2}{25}) + 2 (\frac{9(b-a)^2}{25})}{5} = \frac{\frac{12(a-b)^2 + 18(b-a)^2}{25}}{5} = \frac{\frac{30(b-a)^2}{25}}{5} = \frac{6(b-a)^2}{25}$

3. 最終的な答え

(1) x = 1

(2) $\frac{6}{25}(b-a)^2$