袋の中に1から6の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この中からカードを1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から横一列に6枚並べる。 (i) 左から順に6, 5, 4, 3, 2, 1と書かれたカードが並ぶ確率を求めよ。 (ii) 1と4が書かれたカードが隣り合う確率を求めよ。 (iii) 3と6が書かれたカードにはさまれたカードに書かれている数の積が8である確率を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

袋の中に1から6の数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この中からカードを1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から横一列に6枚並べる。

(i) 左から順に6, 5, 4, 3, 2, 1と書かれたカードが並ぶ確率を求めよ。

(ii) 1と4が書かれたカードが隣り合う確率を求めよ。

(iii) 3と6が書かれたカードにはさまれたカードに書かれている数の積が8である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 左から順に6, 5, 4, 3, 2, 1と書かれたカードが並ぶ確率

* 6枚のカードの並べ方は全部で $6!$ 通りある。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

* 左から順に6, 5, 4, 3, 2, 1と並ぶのは1通りだけ。

* 確率は、$\frac{1}{720}$

(ii) 1と4が書かれたカードが隣り合う確率

* 6枚のカードの並べ方は全部で $6! = 720$ 通り。

* 1と4をひとまとめにして考える。このひとまとめを「14」とする。「14」と残りの4枚のカード(2,3,5,6)を並べる並べ方は5!通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

* 「14」の並び方は「14」と「41」の2通り。

* よって、1と4が隣り合う並び方は $120 \times 2 = 240$ 通り。

* 確率は、$\frac{240}{720} = \frac{1}{3}$

(iii) 3と6が書かれたカードにはさまれたカードに書かれている数の積が8である確率

* 6枚のカードの並べ方は全部で $6! = 720$ 通り。

* 3と6に挟まれたカードの積が8になるのは、3と6の間に2と4がこの順で並ぶ場合（3246）と、4と2がこの順で並ぶ場合（3426）に限られる。

* 3, 6, 2, 4 の並び順は固定されているので、残りの1, 5をどこに配置するかを考える。

* 例えば3246の場合、残り２枚のカードを入れる場所の候補は、以下のように５箇所ある。

_ 3 _ 2 _ 4 _ 6 _

* ５箇所から２箇所を選んで1と5を配置する組み合わせは $5 \times 4 = 20$ 通り。

* 3426の場合も同様に20通り。

* 3と6の並び順を考えると（3246と6243, 3426と6423）、それぞれ20通りなので合計で $20 \times 2 \times 2= 80$ 通り。

* 確率は、$\frac{80}{720} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{720}$

(ii) $\frac{1}{3}$

(iii) $\frac{1}{9}$