白玉3個と黒玉4個、合計7個の玉が入った袋から、同時に3個を取り出すとき、白玉1個と黒玉2個である確率を求める。

## 問題 7

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉4個、合計7個の玉が入った袋から、同時に3個を取り出すとき、白玉1個と黒玉2個である確率を求める。

2. 解き方の手順

全事象は7個から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_7C_3$ 通り。

白玉1個と黒玉2個を選ぶ組み合わせは、白玉3個から1個を選び、黒玉4個から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_3C_1 \times {}_4C_2$ 通り。

したがって、求める確率は、

$\frac{{}_3C_1 \times {}_4C_2}{{}_7C_3}$

${}_3C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

${}_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

求める確率は、

$\frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{18}{35}$

## 問題 8

1. 問題の内容

1つのサイコロを1回投げるとき、2の目または3の倍数の目が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

サイコロの目は1から6まで。

2の目は1つ。

3の倍数の目は3と6の2つ。

2の目または3の倍数の目は、2, 3, 6の3つ。

全事象は6通り。

したがって、求める確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問題 9

1. 問題の内容

4本の当たりくじを含む12本のくじから、3本を同時に引くとき、少なくとも1本が当たる確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たる確率を直接求める代わりに、余事象（3本とも外れる）の確率を求めて、全体から引く。

全事象は12本から3本を選ぶ組み合わせなので、${}_{12}C_3$ 通り。

3本とも外れるのは、8本の外れくじから3本を選ぶ組み合わせなので、${}_8C_3$ 通り。

3本とも外れる確率は $\frac{{}_8C_3}{{}_{12}C_3}$

少なくとも1本が当たる確率は $1 - \frac{{}_8C_3}{{}_{12}C_3}$

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

${}_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

$1 - \frac{56}{220} = 1 - \frac{14}{55} = \frac{55-14}{55} = \frac{41}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$