袋の中に1から6までの数字が書かれた6枚のカードが入っている。この袋から同時に3枚のカードを取り出すとき、取り出されたカードに書かれている数の最小値を確率変数 $X$ とする。 (1) 確率変数 $X$ の期待値を求めよ。 (2) 確率変数 $X$ の分散を求めよ。 (3) 確率変数 $X$ の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1から6までの数字が書かれた6枚のカードが入っている。この袋から同時に3枚のカードを取り出すとき、取り出されたカードに書かれている数の最小値を確率変数 $X$ とする。

(1) 確率変数 $X$ の期待値を求めよ。

(2) 確率変数 $X$ の分散を求めよ。

(3) 確率変数 $X$ の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 期待値を求める。

まず、$X$ の取りうる値を考える。$X$ は3枚のカードの中で最小の数なので、1から4までの値を取りうる。

次に、$X$ がそれぞれの値をとる確率を求める。

カードの取り出し方は全部で ${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りである。

- $X=1$ となるのは、1のカードを含み、残りの2枚が2から6のカードから選ばれる場合である。その場合の数は ${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。よって、$P(X=1) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

- $X=2$ となるのは、2のカードを含み、1のカードを含まず、残りの2枚が3から6のカードから選ばれる場合である。その場合の数は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。よって、$P(X=2) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

- $X=3$ となるのは、3のカードを含み、1と2のカードを含まず、残りの2枚が4から6のカードから選ばれる場合である。その場合の数は ${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。よって、$P(X=3) = \frac{3}{20}$

- $X=4$ となるのは、4のカードを含み、1,2,3のカードを含まず、残りの2枚が5と6のカードから選ばれる場合である。その場合の数は ${}_2 C_2 = 1$ 通り。よって、$P(X=4) = \frac{1}{20}$

期待値 $E(X)$ は、各値とその確率の積の和である。

$E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{3}{20} + 4 \times \frac{1}{20} = \frac{10}{20} + \frac{12}{20} + \frac{9}{20} + \frac{4}{20} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$

(2) 分散を求める。

分散 $V(X)$ は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で求められる。

まず、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{3}{20} + 4^2 \times \frac{1}{20} = \frac{10}{20} + \frac{24}{20} + \frac{27}{20} + \frac{16}{20} = \frac{77}{20}$

次に、$(E(X))^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{77}{20} - \frac{49}{16} = \frac{77 \times 4}{20 \times 4} - \frac{49 \times 5}{16 \times 5} = \frac{308}{80} - \frac{245}{80} = \frac{63}{80}$

(3) 標準偏差を求める。

標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根である。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{63}{80}} = \sqrt{\frac{9 \times 7}{16 \times 5}} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{3}{4} \frac{\sqrt{35}}{5} = \frac{3\sqrt{35}}{20}$

3. 最終的な答え

(1) 期待値: $\frac{7}{4}$

(2) 分散: $\frac{63}{80}$

(3) 標準偏差: $\frac{3\sqrt{35}}{20}$