円周上に点A, B, C, Dがある。線分BCは円の中心Oを通る直径である。 ∠ABC = 40°、∠BCD = xである。xの大きさを求めよ。∠ADC = 90°である。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがある。線分BCは円の中心Oを通る直径である。

∠ABC = 40°、∠BCD = xである。xの大きさを求めよ。∠ADC = 90°である。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、弧ACに対する円周角∠ABCと∠ADCを考える。∠ABC = 40°である。

三角形の内角の和は180°である。三角形ADCについて考えると、∠ADC = 90°であるから、∠DAC + ∠ACD = 90°である。

∠BACは、線分BCが直径であることから、円周角の定理より∠BAC = 90°である。

したがって、∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 90° + ∠DAC である。

また、∠DAC = ∠DACである。

ここで、∠ACB = xとおくと、∠ACD = xである。

三角形ADCにおいて、∠DAC + ∠ACD = 90°なので、∠DAC + x = 90°となる。したがって、∠DAC = 90° - x である。

次に、∠BAC = 90°である。∠BAC = ∠BAO + ∠OAC なので、90° = ∠BAO + ∠OACとなる。

円の中心から円周上の点までの距離は等しいので、三角形ABOは二等辺三角形である。したがって、∠BAO = ∠ABO = 40°である。

よって、90° = 40° + ∠OACなので、∠OAC = 50°である。

∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 40° + 50° = 90°である。

三角形ABCにおいて、∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°なので、40° + x + 90° = 180°となる。

したがって、x = 180° - 40° - 90° = 50°となる。

3. 最終的な答え

50°