与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x + 2) + 6x + c$ が恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x + 2) + 6x + c$ が恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x^2 - bx)(x + 2) + 6x + c = x^3 + 2x^2 - bx^2 - 2bx + 6x + c = x^3 + (2 - b)x^2 + (6 - 2b)x + c$

したがって、与えられた等式は

$x^3 + ax - 1 = x^3 + (2 - b)x^2 + (6 - 2b)x + c$

となります。

この等式が恒等式であるためには、両辺の各次数の項の係数が等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式を得ます。

$x^2$ の係数: $0 = 2 - b$

$x$ の係数: $a = 6 - 2b$

定数項: $-1 = c$

最初の式から $b = 2$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$ が得られます。

3番目の式から、$c = -1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2$

$c = -1$