与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

$(x^2 - bx)(x+2) + 6x + c = x^3 + 2x^2 - bx^2 - 2bx + 6x + c = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$

したがって、$x^3 + ax - 1 = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$ となります。

この等式が恒等式であるためには、各次数の項の係数が等しくなければなりません。

よって、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*}

2 - b &= 0 \\

a &= 6 - 2b \\

-1 &= c

\end{align*}

最初の式から、$b = 2$ がわかります。

次に、2番目の式に $b = 2$ を代入すると、$a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$ が得られます。

最後に、3番目の式から、$c = -1$ がわかります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2$

$c = -1$