与えられた式 $2x^2+1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ において、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2+1 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ において、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

したがって、$2x^2+1 = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$ となります。

この式が $x$ についての恒等式であることから、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数について、$a = 2$

$x$ の係数について、$2a + b = 0$

定数項について、$a + b + c = 1$

$a=2$ を $2a+b=0$ に代入すると、$2(2) + b = 0$ より $4 + b = 0$。したがって、$b = -4$

$a=2$ と $b=-4$ を $a+b+c=1$ に代入すると、$2 + (-4) + c = 1$ より $-2 + c = 1$。したがって、$c = 3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -4$

$c = 3$