$\tan \theta = \sqrt{15}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ の範囲は特に指定されていないため、一般的な解を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \sqrt{15}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ の範囲は特に指定されていないため、一般的な解を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用します。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることから、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ となります。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係も利用します。

$\sin \theta = \sqrt{15} \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(\sqrt{15} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$15 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{16}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{4}$

$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta = \sqrt{15} \times \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta = \sqrt{15} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}, \cos \theta = \frac{1}{4}$

または

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}, \cos \theta = -\frac{1}{4}$