与えられた等式 $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$ が $x$ についての恒等式となるように、係数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $ax^2 + bx + 3 = (x-1)(x+1) + c(x+2)^2$ が $x$ についての恒等式となるように、係数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

したがって、

$(x-1)(x+1) + c(x+2)^2 = x^2 - 1 + c(x^2 + 4x + 4) = x^2 - 1 + cx^2 + 4cx + 4c = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

与えられた等式は、

$ax^2 + bx + 3 = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-1)$

これが恒等式であるためには、両辺の各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a = 1 + c$

$b = 4c$

$3 = 4c - 1$

3つ目の式から $c$ の値を求めます。

$4c - 1 = 3$

$4c = 4$

$c = 1$

$c=1$ を2つ目の式に代入して $b$ の値を求めます。

$b = 4c = 4(1) = 4$

$c=1$ を1つ目の式に代入して $a$ の値を求めます。

$a = 1 + c = 1 + 1 = 2$

したがって、$a = 2$, $b = 4$, $c = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 4$

$c = 1$