$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち一つが与えられた値をとるとき、残りの二つの値を求めよ。 (1) $\sin \theta = \frac{3}{7}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{3}$ (3) $\tan \theta = -2\sqrt{6}$

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち一つが与えられた値をとるとき、残りの二つの値を求めよ。

(1) $\sin \theta = \frac{3}{7}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{3}$

(3) $\tan \theta = -2\sqrt{6}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{7}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}$.

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \geq 0$ なので、

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$

$\sin \theta > 0$ なので、$0 < \theta < 180^\circ$。よって、$\cos \theta$ は正または負の可能性がある。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、$\cos \theta$ の符号で$\tan \theta$ の符号が決まる。

$\theta$ が鋭角のとき($0 < \theta < 90$) $\sin, \cos, \tan$ は全て正の値を取り、$\theta$ が鈍角のとき($90 < \theta < 180$) $\sin > 0, \cos < 0, \tan < 0$ となる。

$\sin \theta = \frac{3}{7} > 0$ なので、$\theta$ は鋭角または鈍角であり、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ はそれぞれ正または負の値を取りうる。

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、$\tan \theta = \frac{3/7}{2\sqrt{10}/7} = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、$\tan \theta = \frac{3/7}{-2\sqrt{10}/7} = -\frac{3}{2\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{20}$

しかし、$\sin \theta = \frac{3}{7} > 0$ のとき $0 < \theta < 180^\circ$ であるから $\theta$ は鋭角または鈍角であり、$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$ より、$\theta$ は $\sin \theta > 0$ であるから、 $\cos \theta$ が正の場合と負の場合の両方が存在しうる。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/7}{\pm 2\sqrt{10}/7} = \pm \frac{3}{2\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{20}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \geq 0$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}$.

(3) $\tan \theta = -2\sqrt{6}$ のとき

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いると、

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (-2\sqrt{6})^2 = 1 + 4 \times 6 = 1 + 24 = 25$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{5}$.

$\tan \theta < 0$ より、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\cos \theta < 0$ となる。

したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$.

$\sin \theta = \tan \theta \times \cos \theta = (-2\sqrt{6}) \times (-\frac{1}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$, $\tan \theta = \pm \frac{3\sqrt{10}}{20}$

(2) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = 2\sqrt{2}$

(3) $\cos \theta = -\frac{1}{5}$, $\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$