全体集合を実数全体の集合Rとし、集合Aを $A = \{x | -2 < x < 3\}$、集合Bを $B = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$と定義するとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{B}$ (4) $\overline{A \cap B}$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合を実数全体の集合Rとし、集合Aを $A = \{x | -2 < x < 3\}$、集合Bを $B = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$と定義するとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{B}$

(4) $\overline{A \cap B}$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$：AとBの両方に含まれる要素の集合。

$A = \{x | -2 < x < 3\}$、 $B = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$なので、$A \cap B = \{x | 1 \leq x < 3\}$

(2) $A \cup B$：AまたはBに含まれる要素の集合。

$A = \{x | -2 < x < 3\}$、 $B = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$なので、$A \cup B = \{x | -2 < x \leq 4\}$

(3) $\overline{B}$：Bに含まれない要素の集合。

$B = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$なので、$\overline{B} = \{x | x < 1 \text{ or } x > 4\}$

(4) $\overline{A \cap B}$：$A \cap B$に含まれない要素の集合。

$A \cap B = \{x | 1 \leq x < 3\}$なので、$\overline{A \cap B} = \{x | x < 1 \text{ or } x \geq 3\}$

(5) $A \cap \overline{B}$：Aに含まれ、かつBに含まれない要素の集合。

$A = \{x | -2 < x < 3\}$、$\overline{B} = \{x | x < 1 \text{ or } x > 4\}$なので、$A \cap \overline{B} = \{x | -2 < x < 1\}$

(6) $\overline{A \cup B}$：$A \cup B$に含まれない要素の集合。

$A \cup B = \{x | -2 < x \leq 4\}$なので、$\overline{A \cup B} = \{x | x \leq -2 \text{ or } x > 4\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 1 \leq x < 3\}$

(2) $A \cup B = \{x | -2 < x \leq 4\}$

(3) $\overline{B} = \{x | x < 1 \text{ or } x > 4\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{x | x < 1 \text{ or } x \geq 3\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{x | -2 < x < 1\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{x | x \leq -2 \text{ or } x > 4\}$

最後の問題は$\overline{A \cup B}$でした。問題文中の(6)が$\overline{A \cap B}$と誤植されているようです。解き方の手順では、正しいものを計算しています。