問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。 $\cos\theta(2\sin\theta - 1) > 0$

1. 問題の内容

問題は、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。

$\cos\theta(2\sin\theta - 1) > 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式$\cos\theta(2\sin\theta - 1) > 0$が成り立つための条件を考えます。積が正になるのは、2つの因数がともに正か、またはともに負の場合です。

* **場合1：$\cos\theta > 0$ かつ $2\sin\theta - 1 > 0$**

このとき、$\cos\theta > 0$ かつ $\sin\theta > \frac{1}{2}$ となります。

$\cos\theta > 0$となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$または$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$のときです。

$\sin\theta > \frac{1}{2}$となるのは、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$のときです。

これらの共通範囲を考えると、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$となります。

* **場合2：$\cos\theta < 0$ かつ $2\sin\theta - 1 < 0$**

このとき、$\cos\theta < 0$ かつ $\sin\theta < \frac{1}{2}$ となります。

$\cos\theta < 0$となるのは、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$のときです。

$\sin\theta < \frac{1}{2}$となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$または$\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$のときです。

これらの共通範囲を考えると、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$および$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$となります。ただし$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$のうち、$cos\theta$が負の領域となる範囲は$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$と$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$との共通範囲を考える必要があり、かつ$\sin\theta < \frac{1}{2}$を満たす必要があります。

$\cos\theta < 0$となるのは$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$なので、

$\sin\theta < \frac{1}{2}$となるのは$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$の範囲です。

したがって、$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$となります。

場合1と場合2を合わせると、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$または$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$