与えられた式を簡略化する問題です。式は以下の通りです。 $\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \times \frac{r-1}{a(r^{30}-1)}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下の通りです。

$\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \times \frac{r-1}{a(r^{30}-1)}$

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \times \frac{r-1}{a(r^{30}-1)} = \frac{a(r^{10}-1)(r-1)}{(r-1)a(r^{30}-1)}$

次に、$a$と$(r-1)$を約分します。

$\frac{a(r^{10}-1)(r-1)}{(r-1)a(r^{30}-1)} = \frac{r^{10}-1}{r^{30}-1}$

$r^{30} - 1$ を $(r^{10})^3 - 1$ と見ると、$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$の公式が使えます。 ここで、$x = r^{10}$とすると、

$r^{30} - 1 = (r^{10})^3 - 1 = (r^{10} - 1)((r^{10})^2 + r^{10} + 1) = (r^{10} - 1)(r^{20} + r^{10} + 1)$

したがって、

$\frac{r^{10}-1}{r^{30}-1} = \frac{r^{10}-1}{(r^{10}-1)(r^{20}+r^{10}+1)} = \frac{1}{r^{20}+r^{10}+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{r^{20}+r^{10}+1}$