与えられた式 $cos\theta - \sqrt{3}sin\theta$ を、$rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

与えられた式 $cos\theta - \sqrt{3}sin\theta$ を、$rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用する。

まず、$cos\theta - \sqrt{3}sin\theta$ を $rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形することを考える。

$rsin(\theta + \alpha) = r(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha) = (r sin\alpha)cos\theta + (r cos\alpha)sin\theta$

したがって、

$cos\theta - \sqrt{3}sin\theta = (r sin\alpha)cos\theta + (r cos\alpha)sin\theta$

係数を比較すると、

$r sin\alpha = 1$

$r cos\alpha = -\sqrt{3}$

両辺をそれぞれ二乗して足し合わせると、

$r^2 sin^2\alpha + r^2 cos^2\alpha = 1^2 + (-\sqrt{3})^2$

$r^2(sin^2\alpha + cos^2\alpha) = 1 + 3$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より、 $r = 2$

$r sin\alpha = 1$ より、$sin\alpha = \frac{1}{2}$

$r cos\alpha = -\sqrt{3}$ より、$cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin\alpha = \frac{1}{2}$ かつ $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、 $-\pi < \alpha \le \pi$ の範囲で $\alpha = \frac{5}{6}\pi$ である。

したがって、$cos\theta - \sqrt{3}sin\theta = 2sin(\theta + \frac{5}{6}\pi)$

3. 最終的な答え

$2sin(\theta + \frac{5}{6}\pi)$