7人の看護師をA病院に3人、B病院に2人、C病院に2人派遣する。 (1) 7人の看護師の振り分け方は全部で何通りあるか。 (2) 7人のうち2人が男性で、この2人が必ず別の病院に派遣されるとき、7人の振り分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

7人の看護師をA病院に3人、B病院に2人、C病院に2人派遣する。

(1) 7人の看護師の振り分け方は全部で何通りあるか。

(2) 7人のうち2人が男性で、この2人が必ず別の病院に派遣されるとき、7人の振り分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7人の看護師の振り分け方

まず、7人からA病院に派遣する3人を選ぶ組み合わせを計算する。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、残りの4人からB病院に派遣する2人を選ぶ組み合わせを計算する。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

最後に、残りの2人はC病院に派遣されるので、組み合わせは1通り。

$_2C_2 = 1$

したがって、7人の看護師の振り分け方は、

$35 \times 6 \times 1 = 210$ 通り

(2) 2人の男性がそれぞれ別の病院に派遣される場合の振り分け方

まず、2人の男性をA,B,Cの病院から2つ選んでそれぞれに割り当てる組み合わせを計算する。

これは順列で表され、$3P_2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$通り。

例えば、男性1をA病院、男性2をB病院に割り当てる場合などがある。

次に、残りの5人からA病院に割り当てる1人を選ぶ。$_5C_1 = 5$通り。

次に、残りの4人からB病院に割り当てる1人を選ぶ。$_4C_1 = 4$通り。

最後に、残りの3人をC病院に割り当てる。$_3C_3 = 1$通り。

したがって、残りの5人の割り当て方は$5 \times 4 \times 1 = 20$通り。

全体の割り当て方は、2人の男性の割り当て方と残りの5人の割り当て方を掛け合わせて計算する。

$6 \times 20 = 120$通り。

3. 最終的な答え

(1) ウ 210通り

(2) 120通り