ある植物の発芽率が従来75%であった。品種改良後、300個の種をまいたところ、237個が発芽した。有意水準5%で、発芽率が向上したと判断できるかを検定する。 (1) 品種改良後の植物の発芽率を$p$とする。帰無仮説と対立仮説、および$X$の分布、期待値、標準偏差を求める。 (2) $Z$を標準化された変数として、有意水準5%での棄却域を求め、与えられた$X=237$の場合について、帰無仮説が棄却されるかどうか、発芽率が向上したと判断できるかどうかを判断する。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

ある植物の発芽率が従来75%であった。品種改良後、300個の種をまいたところ、237個が発芽した。有意水準5%で、発芽率が向上したと判断できるかを検定する。

(1) 品種改良後の植物の発芽率を$p$とする。帰無仮説と対立仮説、および$X$の分布、期待値、標準偏差を求める。

(2) $Z$を標準化された変数として、有意水準5%での棄却域を求め、与えられた$X=237$の場合について、帰無仮説が棄却されるかどうか、発芽率が向上したと判断できるかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

(1)

- 帰無仮説は「発芽率は75%($p=0.75$)である」である。

- 対立仮説は「発芽率は75%より大きい($p>0.75$)」である。

- $X$は二項分布$B(300, p)$に従う。帰無仮説が正しいとすると、$p=0.75 = \frac{3}{4}$なので、$X$は二項分布$B(300, \frac{3}{4})$に従う。

- $X$の期待値は$E(X) = np = 300 \times \frac{3}{4} = 225$。

- $X$の標準偏差は$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{300 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{900}{16}} = \sqrt{56.25} = 7.5$。

(2)

- $Z = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} = \frac{X - 225}{7.5}$。

- 有意水準5%での棄却域は$P(Z \geq z_{\alpha}) = 0.05$となる$z_{\alpha}$を求める。$P(Z \leq z_{\alpha}) = 0.95$なので、$z_{\alpha} = 1.645$である。したがって、棄却域は$Z \geq 1.645$。

- $X = 237$のとき、$Z = \frac{237 - 225}{7.5} = \frac{12}{7.5} = 1.6$。

- $Z = 1.6 < 1.645$なので、帰無仮説は棄却されない。

- したがって、発芽率が向上したとは判断できない。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 3

3: 3/4

4: 3/4

5: 2

6: 2

7: 5

8: 7

9: 5

10:

1. 11: 6

12: 45

13:

1. 14: 6

15: 2

16: 2