(1) 10問の○×テストで、正解が8個以上になる確率を求める。 (2) 5問のA, B, C選択問題で、4個以上の正解を得る確率と全問不正解になる確率のどちらが大きいか。 (3) 硬貨を5回投げ、表の出る回数をaとする。(i) a=3となる確率を求める。(ii) $10a^2$円もらえるときの、もらえる金額の期待値を求める。 (4) N君が傘を忘れる確率が1/10である。A, B, Cの3軒に立ち寄り傘を忘れてきたことに気づいたとき、どの家に傘がある可能性が高いか。 (5) 工程Aで不良品となる確率が4%、工程Bで不良品となる確率が5%である。500個の部品を作るとき、不良品の個数の期待値を求める。 (6) A型40%, O型30%, B型20%, AB型10%の血液型の夫婦1000組において、夫がA型で妻がB型の組み合わせである夫婦の組数を求める。

1. 問題の内容

(1) 10問の○×テストで、正解が8個以上になる確率を求める。

(2) 5問のA, B, C選択問題で、4個以上の正解を得る確率と全問不正解になる確率のどちらが大きいか。

(3) 硬貨を5回投げ、表の出る回数をaとする。(i) a=3となる確率を求める。(ii) $10a^2$円もらえるときの、もらえる金額の期待値を求める。

(4) N君が傘を忘れる確率が1/10である。A, B, Cの3軒に立ち寄り傘を忘れてきたことに気づいたとき、どの家に傘がある可能性が高いか。

(5) 工程Aで不良品となる確率が4%、工程Bで不良品となる確率が5%である。500個の部品を作るとき、不良品の個数の期待値を求める。

(6) A型40%, O型30%, B型20%, AB型10%の血液型の夫婦1000組において、夫がA型で妻がB型の組み合わせである夫婦の組数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正解が8個、9個、10個の場合の確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

二項分布の確率 $P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$を用いる。

$n=10$, $p=1/2$（○×をでたらめに選ぶ場合）である。

$P(X=8) = {}_{10}C_8 (1/2)^8 (1/2)^2 = 45/1024$

$P(X=9) = {}_{10}C_9 (1/2)^9 (1/2)^1 = 10/1024$

$P(X=10) = {}_{10}C_{10} (1/2)^{10} (1/2)^0 = 1/1024$

求める確率は $P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = (45+10+1)/1024 = 56/1024 = 7/128$

(2)

正解する確率 $p = 1/3$。

4個以上の正解を得る確率は、4個正解と5個正解の確率を足し合わせたもの。

$P(X=4) = {}_5C_4 (1/3)^4 (2/3)^1 = 5 \times (1/81) \times (2/3) = 10/243$

$P(X=5) = {}_5C_5 (1/3)^5 (2/3)^0 = 1/243$

$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = (10+1)/243 = 11/243$

全問不正解の確率は $(2/3)^5 = 32/243$

$11/243 < 32/243$ なので、全問不正解となる確率の方が大きい。

(3)

(i) $P(a=3) = {}_5C_3 (1/2)^3 (1/2)^2 = 10 (1/8) (1/4) = 10/32 = 5/16$

(ii) $a$の値は0, 1, 2, 3, 4, 5のいずれかである。

$E = \sum_{a=0}^5 10a^2 P(a)$

$P(a=0) = {}_5C_0 (1/2)^5 = 1/32$

$P(a=1) = {}_5C_1 (1/2)^5 = 5/32$

$P(a=2) = {}_5C_2 (1/2)^5 = 10/32$

$P(a=3) = {}_5C_3 (1/2)^5 = 10/32$

$P(a=4) = {}_5C_4 (1/2)^5 = 5/32$

$P(a=5) = {}_5C_5 (1/2)^5 = 1/32$

$E = 10(0^2 \cdot 1/32 + 1^2 \cdot 5/32 + 2^2 \cdot 10/32 + 3^2 \cdot 10/32 + 4^2 \cdot 5/32 + 5^2 \cdot 1/32)$

$= 10(0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25)/32 = 10(240/32) = 10 \cdot (15/2) = 75$

(4)

A, B, Cの家で忘れる確率は等しくないので、条件付き確率を考える。

$P(A) = (1/10)$, $P(\overline{A}) = 9/10$

$P(B) = (9/10)(1/10)$, $P(\overline{B}) = 1 - 1/100 = 99/100$

$P(C) = (9/10)(9/10)(1/10)$, $P(\overline{C}) = 1 - 81/1000 = 919/1000$

$P(A|忘れた) = P(A) / (P(A)+P(B)+P(C)) = (1/10) / (1/10 + 9/100 + 81/1000) = (100/1000) / (100/1000 + 90/1000 + 81/1000) = 100 / (100+90+81) = 100/271$

$P(B|忘れた) = P(B) / (P(A)+P(B)+P(C)) = (9/100) / (271/1000) = 90/271$

$P(C|忘れた) = P(C) / (P(A)+P(B)+P(C)) = (81/1000) / (271/1000) = 81/271$

$100/271 > 90/271 > 81/271$ なので、Aの家にある可能性が高い。

(5)

不良品となる確率: $P(A) = 0.04$, $P(B) = 0.05$

両方とも不良品となる確率: $P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.04 \times 0.05 = 0.002$

少なくともどちらかが不良品となる確率: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.04 + 0.05 - 0.002 = 0.088$

不良品の期待値: $500 \times 0.088 = 44$個

(6)

夫がA型である確率は40%、妻がB型である確率は20%。

夫がA型で妻がB型である確率は $0.4 \times 0.2 = 0.08$

夫婦1000組において、夫がA型で妻がB型の組数は $1000 \times 0.08 = 80$組

3. 最終的な答え

(1) 7/128

(2) 全問不正解となる確率

(3) (i) 5/16 (ii) 75円

(4) Aの家

(5) 44個

(6) 80組