確率変数 $X$ の期待値 $E(X) = 60$、分散 $V(X) = 252$ である。定数 $a$ に対して、確率変数 $Y$ が $Y = \frac{1}{3}X + a$ で定義される。$Y$ の期待値 $E(Y) = 30$ のとき、$a$ の値を求め、さらに $Y$ の分散 $V(Y)$ の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E(X) = 60$、分散 $V(X) = 252$ である。定数 $a$ に対して、確率変数 $Y$ が $Y = \frac{1}{3}X + a$ で定義される。$Y$ の期待値 $E(Y) = 30$ のとき、$a$ の値を求め、さらに $Y$ の分散 $V(Y)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$Y$ の期待値 $E(Y)$ を $X$ の期待値 $E(X)$ を用いて表す。

$E(Y) = E(\frac{1}{3}X + a) = \frac{1}{3}E(X) + a$

問題文より $E(X) = 60$ なので、

$E(Y) = \frac{1}{3}(60) + a = 20 + a$

また、$E(Y) = 30$ なので、

$30 = 20 + a$

$a = 30 - 20 = 10$

次に、$Y$ の分散 $V(Y)$ を $X$ の分散 $V(X)$ を用いて表す。

$V(Y) = V(\frac{1}{3}X + a) = (\frac{1}{3})^2 V(X) = \frac{1}{9}V(X)$

問題文より $V(X) = 252$ なので、

$V(Y) = \frac{1}{9}(252) = 28$

3. 最終的な答え

$a = 10$

$V(Y) = 28$