（1）1個のサイコロを1回投げた時の出た目の数を$X$とするとき、$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求める。 （2）1個のサイコロを12回投げた時の出た目の数の和を$Y$とするとき、$Y$の期待値$E(Y)$と分散$V(Y)$を求める。

1. 問題の内容

（1）1個のサイコロを1回投げた時の出た目の数を$X$とするとき、$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求める。

（2）1個のサイコロを12回投げた時の出た目の数の和を$Y$とするとき、$Y$の期待値$E(Y)$と分散$V(Y)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1個のサイコロを1回投げたとき、$X$の取りうる値は1, 2, 3, 4, 5, 6である。それぞれの値をとる確率は$\frac{1}{6}$である。

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

分散$V(X)$は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

(2) 1個のサイコロを12回投げた時の出た目の数の和を$Y$とする。このとき、$Y = X_1 + X_2 + ... + X_{12}$であり、$X_i$は$i$回目のサイコロの出目である。

期待値$E(Y)$は、

$E(Y) = E(X_1 + X_2 + ... + X_{12}) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_{12})$

$= 12 \cdot E(X) = 12 \cdot \frac{7}{2} = 42$

分散$V(Y)$は、

$V(Y) = V(X_1 + X_2 + ... + X_{12}) = V(X_1) + V(X_2) + ... + V(X_{12})$

$= 12 \cdot V(X) = 12 \cdot \frac{35}{12} = 35$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{7}{2}$

$V(X) = \frac{35}{12}$

$E(Y) = 42$

$V(Y) = 35$