確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{b}$ ($0 \leq x \leq a$) で与えられている。 (1) $b$ を $a$ の式で表せ。 (2) $X$ の期待値 $E(X)$ を $a$ の式で表せ。 (3) $X$ の分散 $V(X)$ を $a$ の式で表せ。 (4) $P(\frac{a}{9} \leq X \leq a)$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{b}$ ($0 \leq x \leq a$) で与えられている。

(1) $b$ を $a$ の式で表せ。

(2) $X$ の期待値 $E(X)$ を $a$ の式で表せ。

(3) $X$ の分散 $V(X)$ を $a$ の式で表せ。

(4) $P(\frac{a}{9} \leq X \leq a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数の定義から、全区間における積分が1になることを利用する。

$\int_0^a f(x) dx = 1$

$\int_0^a \frac{1}{b} dx = \frac{1}{b} [x]_0^a = \frac{a}{b} = 1$

よって、$b = a$

(2) 期待値は $E(X) = \int_0^a x f(x) dx$ で計算できる。

$E(X) = \int_0^a x \frac{1}{a} dx = \frac{1}{a} \int_0^a x dx = \frac{1}{a} [\frac{x^2}{2}]_0^a = \frac{1}{a} \frac{a^2}{2} = \frac{a}{2}$

(3) 分散は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できる。

$E(X^2) = \int_0^a x^2 f(x) dx = \int_0^a x^2 \frac{1}{a} dx = \frac{1}{a} \int_0^a x^2 dx = \frac{1}{a} [\frac{x^3}{3}]_0^a = \frac{1}{a} \frac{a^3}{3} = \frac{a^2}{3}$

$V(X) = \frac{a^2}{3} - (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$

(4) 確率 $P(\frac{a}{9} \leq X \leq a)$ は、積分で計算できる。

$P(\frac{a}{9} \leq X \leq a) = \int_{\frac{a}{9}}^a \frac{1}{a} dx = \frac{1}{a} [x]_{\frac{a}{9}}^a = \frac{1}{a} (a - \frac{a}{9}) = \frac{1}{a} \frac{8a}{9} = \frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $b = a$

(2) $E(X) = \frac{a}{2}$

(3) $V(X) = \frac{a^2}{12}$

(4) $P(\frac{a}{9} \leq X \leq a) = \frac{8}{9}$