120本のくじの中にa本の当たりくじがある。1本引いて元に戻すことをn回繰り返す。Xを当たりくじを引いた回数とする。 (1) Xの平均が3、分散が2であるとき、aとnを求める。 (2) aとnが与えられたとき、$P(X \ge 80)$を求める。

1. 問題の内容

120本のくじの中にa本の当たりくじがある。1本引いて元に戻すことをn回繰り返す。Xを当たりくじを引いた回数とする。

(1) Xの平均が3、分散が2であるとき、aとnを求める。

(2) aとnが与えられたとき、$P(X \ge 80)$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

Xは二項分布に従うので、$X \sim B(n, p)$となる。ここで、$p = \frac{a}{120}$である。

二項分布の平均と分散はそれぞれ、

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

と表される。問題文より、$E(X) = 3$、$V(X) = 2$であるから、

$np = 3$

$np(1-p) = 2$

$3(1-p) = 2$

$1-p = \frac{2}{3}$

$p = \frac{1}{3}$

$n \cdot \frac{1}{3} = 3$

$n = 9$

$p = \frac{a}{120} = \frac{1}{3}$

$a = 40$

(2)

a=40, n=200のとき、$p = \frac{a}{120} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$である。

Xは近似的に正規分布$N(np, np(1-p))$に従うので、

$E(X) = np = 200 \cdot \frac{1}{3} = \frac{200}{3}$

$V(X) = np(1-p) = 200 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{400}{9}$

標準偏差$\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$

Z=$\frac{X-\mu}{\sigma}$とすると、$Z = \frac{80 - \frac{200}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{240-200}{20} = \frac{40}{20}=2$

$P(X \ge 80) = P(Z \ge 2) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$なので、

$P(X \ge 80) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$

小数第4位を四捨五入すると、0.023

3. 最終的な答え

(1) a = 40, n = 9

(2) 0.023