あるメーカーのポテトチップ400袋を無作為に抽出して重さを測ったところ、平均値が90.3g、標準偏差が5.0gであった。母標準偏差は5.0gとして、以下の問題を解く。 (1) このメーカーのポテトチップ1袋の重さの平均値 $m$ を信頼度95%で推定した信頼区間を求める。 (2) このメーカーのポテトチップ1袋あたりの重量を信頼度95%で推定するとき、信頼区間の幅を0.7g以下にするには、少なくともいくつの標本を無作為抽出すればよいか求める。 (3) このポテトチップの袋には90gと表示されている。(1)の調査から、1袋あたりの重さが表示より重いと判断してよいかを有意水準5%で検定したい。このメーカーの1袋あたりの重さの母平均を $m$ として、帰無仮説を立て、標準正規分布に従う $Z$ の式を完成させる。

1. 問題の内容

あるメーカーのポテトチップ400袋を無作為に抽出して重さを測ったところ、平均値が90.3g、標準偏差が5.0gであった。母標準偏差は5.0gとして、以下の問題を解く。

(1) このメーカーのポテトチップ1袋の重さの平均値 $m$ を信頼度95%で推定した信頼区間を求める。

(2) このメーカーのポテトチップ1袋あたりの重量を信頼度95%で推定するとき、信頼区間の幅を0.7g以下にするには、少なくともいくつの標本を無作為抽出すればよいか求める。

(3) このポテトチップの袋には90gと表示されている。(1)の調査から、1袋あたりの重さが表示より重いと判断してよいかを有意水準5%で検定したい。このメーカーの1袋あたりの重さの母平均を $m$ として、帰無仮説を立て、標準正規分布に従う $Z$ の式を完成させる。

2. 解き方の手順

(1) 信頼度95%の信頼区間は、標本平均 $\bar{x}$、母標準偏差 $\sigma$、サンプルサイズ $n$ を用いて、以下の式で求められる。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 90.3$, $\sigma = 5.0$, $n = 400$ である。

信頼度95%なので、$\alpha = 0.05$ であり、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$ である。

したがって、信頼区間は、

$90.3 - 1.96 \frac{5.0}{\sqrt{400}} \le m \le 90.3 + 1.96 \frac{5.0}{\sqrt{400}}$

$90.3 - 1.96 \times \frac{5.0}{20} \le m \le 90.3 + 1.96 \times \frac{5.0}{20}$

$90.3 - 0.49 \le m \le 90.3 + 0.49$

$89.81 \le m \le 90.79$

(2) 信頼区間の幅 $W$ は、$W = 2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で与えられる。

$W \le 0.7$ となるように $n$ を求める。

$2 \times 1.96 \times \frac{5.0}{\sqrt{n}} \le 0.7$

$\frac{19.6}{\sqrt{n}} \le 0.7$

$\sqrt{n} \ge \frac{19.6}{0.7} = 28$

$n \ge 28^2 = 784$

したがって、少なくとも784袋の標本が必要である。

(3) 帰無仮説は $m \le 90$ もしくは $m = 90$ である。選択肢から $m=90$ が適切である。

検定統計量 $Z$ は、以下の式で計算される。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{X} = 90.3$, $\mu = 90$, $\sigma = 5$, $n = 400$ である。

$Z = \frac{90.3 - 90}{5 / \sqrt{400}} = \frac{0.3}{5/20} = \frac{0.3}{0.25} = 1.2$

3. 最終的な答え

(1) $89.81 \le m \le 90.79$

1:89, 2:.8, 3:1, 4:90, 5:.7, 6:9

(2) 784

7:7, 8:8, 9:4

(3) 10:1

11:90, 12:0

13:5, 14:√400 (もしくは 20), 15:0, 16:1