座標平面上の3点 A(-1, 1), B(2, -5), C(5, 4) が与えられている。 (1) 2点 A, B 間の距離を求める。 (2) 三角形 ABC について、角度や辺の長さの関係を明らかにし、三角形の種類を特定する。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 A(-1, 1), B(2, -5), C(5, 4) が与えられている。

(1) 2点 A, B 間の距離を求める。

(2) 三角形 ABC について、角度や辺の長さの関係を明らかにし、三角形の種類を特定する。

2. 解き方の手順

(1) 2点 A, B 間の距離は、距離の公式を用いて計算する。

$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

したがって、$AB = 3\sqrt{5}$。

(2) まず、各辺の長さを計算する。

$AB = 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$

$BC = \sqrt{(5-2)^2 + (4-(-5))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$AC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$AB = AC$ より、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。

次に、角Aの大きさを調べる。余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{A}$

$90 = 45 + 45 - 2 \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{45} \cos{A}$

$90 = 90 - 2 \cdot 45 \cos{A}$

$0 = -90 \cos{A}$

$\cos{A} = 0$

したがって、$A = 90^\circ$。

$\triangle ABC$ は $\angle{A} = 90^\circ$ であり、$AB = AC$ であるから、直角二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $AB = 3\sqrt{5}$

(2) $\angle{A} = 90^\circ$, $AB = AC$ の直角二等辺三角形

ス = 3

セ = 5

ソ = 90

タ = AB

チ = 直角二等辺三角形