(1) AとBの2人がじゃんけんをする。あいこの場合は繰り返すが、じゃんけんの回数は最大で$n$回とする。このとき、Aが勝つ確率を求めよ。 (2) A, B, Cの3人がじゃんけんをする。1回目は3人で始め、負けた者は抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが、じゃんけんの回数は最大で$n$回とする。このとき、Aが1人で勝ち残る確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) AとBの2人がじゃんけんをする。あいこの場合は繰り返すが、じゃんけんの回数は最大で$n$回とする。このとき、Aが勝つ確率を求めよ。

(2) A, B, Cの3人がじゃんけんをする。1回目は3人で始め、負けた者は抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが、じゃんけんの回数は最大で$n$回とする。このとき、Aが1人で勝ち残る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

AとBが1回のじゃんけんでAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{3}$、あいこになる確率は$\frac{1}{3}$である。

Aが$k$回目($1 \le k \le n$)に勝つ確率は、それまで$k-1$回あいこが続き、$k$回目にAが勝つ確率である。これは$(\frac{1}{3})^{k-1} \times \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^k$である。

したがって、Aが$n$回以内のじゃんけんで勝つ確率は、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3})^k = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^n)$

(2)

Aが1回目に勝つ確率は、Aが勝ち、BとCが負けるか、あいこになるかのいずれかである。Aが1回目に勝つ確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$である。Aが1回目にあいこになる確率は$\frac{1}{3}$である。BとCが1回目にあいこになる確率は$\frac{1}{3}$である。Aが2回目に勝つ確率は、1回目にあいこになり、2回目にAが勝つ確率である。

3人がじゃんけんをするとき、あいこになる確率は$\frac{1}{3}$である。

Aが勝ち残る確率は、まずAが1回目に負けない確率を考える。Aが負ける確率は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$である。

1回のじゃんけんで、Aが勝ち残る確率は$1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$である。

Aが1回で勝ち残る確率は、$A$が勝ち、$B$と$C$が負ける場合なので、$1/3 * 1/3 = 1/9$

あいこになる確率は、$1/3$

したがって、Aが$k$回目に勝ち残る確率は、それまで$k-1$回あいこが続き、$k$回目にAが勝つ確率である。

$k=1$のとき、Aが1回で勝ち残る確率は$\frac{1}{9}$である。

$n$回以内にAが勝ち残る確率は、$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3})^{k-1} \frac{1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{9} \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{9} \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{9} \times \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n) = \frac{1}{6} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^n)$

(2) $\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{3})^n)$