数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_n - 2 = (-4) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$ が与えられています。このとき、$a_n$ を $n$ の式で表すと、$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-3}}$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、漸化式 $a_n - 2 = (-4) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$ が与えられています。このとき、$a_n$ を $n$ の式で表すと、$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-3}}$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を変形して、$a_n$ を求めます。

$a_n - 2 = (-4) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$ より、

$a_n = 2 + (-4) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = 2 - 4 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}$

$a_n = 2 - \frac{4}{2^{n-1}}$

$a_n = 2 - \frac{2^2}{2^{n-1}}$

$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1-2}}$

$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-3}}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-3}}$